Tenga en cuenta que puede haber otros métodos aparte de estas enormes fórmulas para resolver cúbicas o cuárticas. Pero quería mostrar aquí que las fórmulas realmente existen.
La forma general de la ecuación de cuarto grado (o cuártica) es: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
Las ecuaciones de cuarto grado tienen 4 soluciones (o raíces).
En su forma más general, estas 4 soluciones se pueden representar así:
Primera solución (de cuatro):
Segunda solución (de cuatro):
Tercera solución (de cuatro):
Cuarta solución (de cuatro):
Las cuatro fórmulas son iguales salvo por un signo "+ ó
-" al comienzo, y por un par de signos "+ ó -" al final a la derecha de
las imágenes. Nótese que la unidad imaginaria "i" no
aparece en ninguna de estas fórmulas.
A continuación, las mismas cuatro fórmulas en ASCII. Las
diferencias están marcadas aquí en amarillo:
| x = -b/(4 a) - 1/2
Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2
c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d +
12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c
e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a
d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] - 1/2
Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2
c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d +
12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c
e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e -
72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a
d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) - (-b^3/a^3
+ 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3
b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e +
Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2
e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2
+ 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b
c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])]
x = -b/(4 a) - 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] + 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) - (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])] x = -b/(4 a) + 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] - 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) + (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])] x = -b/(4 a) + 1/2 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)] + 1/2 Sqrt[b^2/(2 a^2) - 4 c/(3 a) - 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)) - 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3) + (-b^3/a^3 + 4 b c/a^2 - 8 d/a)/(4 Sqrt[b^2/(4 a^2) - 2 c/(3 a) + 2^(1/3) (c^2 - 3 b d + 12 a e)/(3 a ((2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2]))^(1/3)) + 1/(3 2^(1/3) a)(2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e + Sqrt[-4 (c^2 - 3 b d + 12 a e)^3 + (2 c^3 - 9 b c d + 27 a d^2 + 27 b^2 e - 72 a c e)^2])^(1/3)])] |
Las fórmulas de arriba fueron obtenidas
con el programa Mathematica de Wolfram. Las copié a mano en
formato ASCII porque el programa parece no tener esa opción.
josechu2004@gmail.com
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de Fórmulas para resolver Ecuaciones Polinómicas